复习笔记 Day39

已经有很长的时间没有写笔记了，前两天沉迷GTA4所以摆了···

首先是复习了一些常微分方程的内容：
如果一个方程恰好可以写成，那自然就解出了这个方程，为了判断是否存在这样的，根据，只需判断是否有。如果有的话，就可以找到这样的，具体的方法是对关于积分，得到，再关于求导，解得即可

如果不成立，但是，那么也可以解得方程，而此时有，化简可得

如果或者，那么恰好可以解出
接下来做了一些关于一致收敛的题目，被这方面的题目橄榄了····

证明一致收敛有一个（我之前没见过的）套路：
为了证明一致收敛，要找到与无关的，使得

而如果已经知道了是逐点收敛的，那么可以通过将区间等分，然后估计每个区间上任意一个点与区间上的端点的差值，再根据在端点处是收敛的，得到可以控制每一点的，这个方法貌似被称为分段法

例题懒得写了，基本上就是把别人的答案抄上来···

39.1[天津大学2021]证明如下结论
证明32.1

如果，那么，其中是单位球
1，2，3的证明略

这道题的背景是数学物理方程里面的调和方程，对第四问有更加一般的结论：

其中
只证明一下第一种情况（摆了）
在上用第一问的结论，因为，所以

，其中为以为圆心，为半径的球，定向取内侧
在上，有

(注意曲面的定向）
那么
其中是球内某一点，第二项等于应用了第三问的结论

令趋于可得
而如果恰好是单位球的话，从之前的证明可以看出，在上，，，所以

因为太吾绘卷正式版9月21号就要公布了，所以让我们看看云南的考题吧（

39.2[云南大学2021]证明：，其中
看到不难想到通过二重积分证明的过程

而
其中为以为半径，原点为圆心的圆
而

故
证明右边的不等式有点迷惑性，如果想去找一个区域然后仿照上面的证明的话可能有一点困难，但是如果注意到对右边的式子的平方求导，恰好可以约掉的话，可以想到：

记
则，这个式子难以判断正负，为了消去积分号，化简可得

，记
，那么
那么因为且递减，所以，又因为，所以，这就证明了

9.12更新，不等式的右边也可以用几何方法来证明，看来是我误解出卷老师了，果咩纳塞

我应该是看了一些别的题目的，不过时间过的太久了就忘掉了···

接下来是我个人的一些吐槽，首先是云南大学的考题：

我知道这里是想考求解方程组，但是直接这样考是否有点...丘维声上可以找到原题，甚至方程式都没改然后我做到一致收敛那边的题目，想看看实变函数上面的定理能不能给我一些启发，我看到叶果罗夫定理的证明的时候，先看了程其襄的实变函数，上面的证明是这么写的：

开什么玩笑，要吐了看到一堆交和并的符号就没有看这个证明的欲望

但是碰巧我的手边还有一本(我几乎没有翻过的)stein的实分析，我就看了一下上面的证明：

明明是英文，咋能比中文还容易看懂呢？所以很多人表示英文教材写的比中文教材好也不是没有道理的

最后就是有人吐槽我专栏挂在轻小说的分区，其实我一开始好像是打算写点剧情上去的，只是写着写着就忘了，构思一下写点剧情上去好了···